人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系.docx

第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等．
考点一　弦长、面积问题
核心提炼
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝，
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
例1　(2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．
解　(1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)方法一　由题意知，直线的斜率不为0，F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，
即y1＋y2＝，y1y2＝.
又S△BMN＝·|BF1|·|y1|＋·|BF1|·|y2|
＝·|BF1|·|y1－y2|
＝·|BF1|·
＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
方法二　由(1)知F1(－1,0)，B(2,0)，
当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，所以S△BMN＝≠，所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝·
＝·
＝·＝.
因为点B(2,0)到直线l的距离为d＝，
所以S△BMN＝·|MN|·d
＝··
＝，
即k2＝1，得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
易错提醒　(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
跟踪演练1　(2022·宝鸡模拟)已知椭圆C1的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C2：y2＝4x
的焦点F重合，且椭圆C1的离心率为.
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)过F点的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程．
解　(1)抛物线C2：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
所以椭圆C1的一个焦点为F(1,0)，
设椭圆C1的方程为＋＝1(a>b>0)，其中c2＝a2－b2，
则c＝1，由椭圆C1的离心率为＝，
解得a＝2，则b＝，
所以椭圆C1的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
由
可得y2－4my－4＝0，
Δ＝16m2＋16＝16(m2＋1)>0，
所以y3＋y4＝4m，y3y4＝－4，
则|PQ|＝x3＋x4＋2＝m(y3＋y4)＋4＝4m2＋4，
由
得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
Δ＝36m2＋36(4＋3m2)＝144(m2＋1)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
则|AB|＝
＝
＝，
由|PB|＋|AQ|＝3|AB|，
即|PB|＋|AQ|＝|PA|＋|AB|＋|QB|＋|AB|＝|PA|＋|QB|＋2|AB|＝3|AB|，
得|PA|＋|QB|＝|AB|，
又|PA|＋|QB|＋|AB|＝|QP|，
所以|AB|＝|QP|，
即＝(4m2＋4)＝2(m2＋1)，
解得m2＝，即m＝±，
所以直线l的方程为x＝±y＋1，
即3x±y－3＝0.
考点二　中点弦问题
核心提炼
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
例2　(2022·新高考全国Ⅱ)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为____________