人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 微重点14　椭圆、双曲线的二级结论的应用.docx

微重点14　椭圆、双曲线的二级结论的应用
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
考点一　焦点三角形
核心提炼
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2且∠F1PF2＝θ，
则椭圆中＝b2·tan ，
双曲线中＝.
例1　(2022·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
答案　D
解析　由e＝，得＝，即a＝2c.①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)，
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知＝b2tan＝r(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)，②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
易错提醒　(1)要注意公式中θ的含义．
(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．
跟踪演练1　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设双曲线C2的方程为－＝1，
则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为btan 45°＝，
即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线的离心率e＝＝＝.
考点二　焦半径的数量关系
核心提炼
焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则＋＝，同理，双曲线中，＋＝.
例2　已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若＝2，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________．
答案　－＝1
解析　如图，令|F2B|＝t，
则|AF2|＝2t，
∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，
又＋＝，
∴＋＝，
即＝，
又|F1B|－|F2B|＝2a，
∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，
∴t＝a，
∴＝，即3b2＝4a2，
又c＝，∴a2＋b2＝7，
解得b2＝4，a2＝3，
故双曲线C的方程为－＝1.
易错提醒　公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立．
跟踪演练2　已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点．且|AF2|＝2，则|AB|＝________，cos∠F1AB＝________.
答案　　－
解析　由题意知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，
由＋＝，
得＋＝，
解得|BF2|＝.
∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝，
由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6，
|BF1|＝8－＝，
在△AF1B中，cos∠F1AB＝＝－.
考点三　周角定理
核心提炼
周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.
例3　已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10，这10条直线的斜率乘积为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　由椭圆的性质可得
＝－＝－.
由椭圆的对称性可得
同理可得
∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为5＝－.
规律方法　周角定理的推广：A，B两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P为椭圆(双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.
跟踪演练3　设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)
A. B. C．－1 D．－
答案　B
解析　∵∠F1AF2＝90°，
∴△F1AF2为等腰直角三角形，
∴b＝c，
∴a2＝2b2＝2c