人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 第4讲　导数的几何意义及函数的单调性.docx

第4讲　导数的几何意义及函数的单调性
[考情分析]　1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．
考点一　导数的几何意义与计算
核心提炼
导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
例1　(1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线方程为(　　)
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
答案　B
解析　由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cos x，
可得f′(x)＝(2ex－1)·cos x－(2ex－x)·sin x，
所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1，
f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝ ，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
易错提醒　求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.
答案　y＝x　y＝－x
解析　先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
则由y′＝，得切线斜率为，
又切线的斜率为，所以＝，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
(2)(2022·衡水模拟)动直线l分别与直线y＝2x－1，曲线y＝x2－ln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　A
解析　设点A是直线y＝2x－1上任意一点，点B是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当点B处的切线和直线y＝2x－1平行时，这两条平行线间的距离|AB|的值最小﹐
因为直线y＝2x－1的斜率等于2，
曲线y＝x2－ln x的导数y′＝3x－(x>0)，令y′＝2，
可得x＝1或x＝－(舍去)，故此时点B的坐标为，|AB|min＝＝.
考点二　利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)求f(x)的导数f′(x)；
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间；
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
例2　设函数f(x)＝(x－2)ex＋ax2－ax，讨论f(x)的单调性．
解　由题意得x∈R，f′(x)＝(x－1)(ex＋a)，
当a≥0时，当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln(－a)，
①若a<－e，当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，ln(－a))时，f′(x)<0；
当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－a))上单调递减；
②若a＝－e，则f′(x)≥0，
所以f(x)在R上单调递增；
③若－e<a<0，当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)>0，
当x∈(ln(－a)，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln(－a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－a)，1)上单调递减．
综上