人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题2 培优点4　平面向量“奔驰定理”.docx

培优点4　平面向量“奔驰定理”
平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．
考点一　平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
例1　已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　由奔驰定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，
又＋2＋m＝0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
∴＝＝，解得m＝4.
易错提醒　利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．
跟踪演练1　设点O在△ABC内部，且＝＋，则＝________.
答案　
解析　由＝＋，
得－12＝4(－)＋3(－)，
整理得5＋4＋3＝0，
所以＝.
考点二　“奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
(1)O是△ABC的重心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1
⇔＋＋＝0．
(2)O是△ABC的内心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c
⇔a＋b＋c＝0．
(3)O是△ABC的外心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB
＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0．
(4)O是△ABC的垂心
⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C
⇔tan A·＋tan B·＋tan C·＝0．
考向1　“奔驰定理”与重心
例2　已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56a＋40b＋35c＝0，则B＝________.
答案　
解析　依题意，可得56a＝40b＝35c，
所以b＝a，c＝a，
所以cos B＝＝，
因为0<B<π，所以B＝.
考向2　“奔驰定理”与外心
例3　已知点P是△ABC的外心，且＋＋λ＝0，C＝，则λ＝________.
答案　－1
解析　依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C＝1∶1∶λ，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，
∴A＝B，又C＝，
∴A＝B＝，
又＝，
∴λ＝＝＝－1.
考向3　“奔驰定理”与内心
例4　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若＝λ＋μ，则3λ＋6μ的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　＝λ＋μ可化为
＋λ－λ＋μ－μ＝0，
整理得(1－λ)＋(λ－μ)＋μ＝0，
所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，
解得λ＝，μ＝，
所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3.
考向4　“奔驰定理”与垂心
例5　已知H是△ABC的垂心，若＋2＋3＝0，则A＝________.
答案　
解析　依题意，
可得tan A∶tan B∶tan C＝1∶2∶3