人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题6 第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系.docx

第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析]　直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等．
考点一　弦长、面积问题
核心提炼
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝，
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
例1　(2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．
解　(1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)方法一　由题意知，直线的斜率不为0，F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，
即y1＋y2＝，y1y2＝.
又S△BMN＝·|BF1|·|y1|＋·|BF1|·|y2|
＝·|BF1|·|y1－y2|
＝·|BF1|·
＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
方法二　由(1)知F1(－1,0)，B(2,0)，
当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，所以S△BMN＝≠，所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝·
＝·
＝·＝.
因为点B(2,0)到直线l的距离为d＝，
所以S△BMN＝·|MN|·d
＝··
＝，
即k2＝1，得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
易错提醒　(1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
跟踪演练1　(2022·三亚模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作圆M：(x＋2)2＋y2＝4的切线，切线长为2.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，满足|PA|＝|PB|＝|AB|，求l的方程．
解　(1)由已知得圆M的圆心为M(－2,0)，半径为2,
因为切线长为2，
所以点F到圆心M的距离为＝4，
因为p>0，
所以F在x轴正半轴上，于是F(2,0)，
所以p＝4,
故C的方程为y2＝8x.
(2)设线段AB的中点为Q，
由题意可知PQ为AB的垂直平分线，且在Rt△PAQ中，由|PA|＝|AB|，
即|PA|＝|AQ|，可得|PQ|＝|AQ|.
设l的方程为x＝my＋2，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由得y2－8my－16＝0,
则yA＋yB＝8m，xA＋xB＝m(yA＋yB)＋4＝8m2＋4，
所以Q(4m2＋2,4m)．
所以直线PQ的方程为y＝－m(x－4m2－2)＋4m，
令x＝－2，可得y＝4m3＋8m，
即P(－2,4m3＋8m)．
所以|PQ|＝＝(4m2＋4).
又|AB|＝p＋xA＋xB＝4＋xA＋xB＝8m2＋8，|AQ|＝＝4m2＋4.
所以(4m2＋4)＝(4m2＋4)，
解得m＝±1.
所以l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
考点二　中点弦问题
核心提炼
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
例2　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(－2,1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　方法一　由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kPQ＝kBF＝－.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则两式相减得＝.
因为线段PQ的中点为M(－2,1)，
所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，