人教版专题3-3 三角函数与解三角形综合大题21类型（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

专题3-3 三角函数与解三角形综合大题21种类型
目录
讲高考 1
题型全归纳 5
【题型一】“化一法” 5
【题型二】恒成立求参型 7
【题型三】利用对称性求三角函数零点 9
【题型四】恒等变形 11
【题型五】三角函数图像与解析式综合 13
【题型六】正弦定理化简求角 16
【题型七】余弦定理+均值求角范围 17
【题型八】求周长最值型 19
【题型九】求面积最值型 21
【题型十】四边形最值型 22
【题型十一】中线型最值 24
【题型十二】角平分线型最值 26
【题型十三】与高有关的最值型 28
【题型十四】外接圆型 30
【题型十五】有角无边型最值 32
【题型十六】边系数不对称型最值 34
【题型十七】角非对边型最值 35
【题型十八】判断三角形形状 37
【题型十九】三角形几解的问题 38
【题型二十】三角形中边与角的不等式恒明 40
【题型二十一】解三角形模型应用 41
专题训练 43
讲高考

1．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：．
（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以
．
（3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角
的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
4．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
5．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
7．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成
，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦