人教版专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积（讲+练）（解析版）.docx

专题7-2 立体几何压轴小题：角度与动点、体积
目录
讲高考 1
题型全归纳 7
【题型一】角度1：线线角 7
【题型二】角度2：线面角 10
【题型三】角度3：二面角 14
【题型四】角度综合 17
【题型五】体积1：体积比 21
【题型六】体积2：不规则 25
【题型七】体积3：最值型 28
【题型八】体积4：翻折“包装”型 30
【题型九】体积5：祖暅定理型 33
【题型十】立体几何中的轨迹 35
专题训练 38
讲高考

1．（福建·高考真题）如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，，O为球心，则直线与截面所成的角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求球的半径，确定小圆中的特征，作出直线与截面所成的角，然后解三角形求出直线与截面所成的角，即可得解．
【详解】解：表面积为的球面，设球的半径是，则，解得，
因为，，，
由余弦定理可得，
所以，所以，所以，为小圆的直径，
则平面平面，设为小圆的圆心，平面平面，，平面，所以平面，
所以就是直线与截面所成的角，又，，
所以，所以直线与截面所成的角为.
故选：D．
2．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，
所以.故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高.故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，，，单调递增， ，，单调递减，所以当时，最大，此时．故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，
时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
5．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【分析】作出几何体直观图，