人教第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1节　函数及其表示.docx

第1节　函数及其表示
考试要求　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.函数与映射的概念
函数
映射
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
设A，B是两个
非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1交点.
3.注意以下几个特殊函数的定义域
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)f(x)＝＋是一个函数.(　　)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝＋中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.
2.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2].
3.(2021·贵阳诊断)已知函数f(x)＝ 则f＝(　　)
A.－1 B.2 C. D.
答案　D
解析　∵f＝log3<0，
∴f＝f＝3(log3)＝.
4.(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__________.
答案　(0，＋∞)
解析　要使函数有意义，需满足
所以函数的定义域为(0，＋∞).
5.(易错题)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－1(x≥0)
解析　令t＝≥0，∴x＝t2，
∴f(t)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥0).
6.已知函数f(x)＝则f(x)的值域为________.
答案　(0，1)∪[2，＋∞)
解析　当x≤1时，f(x)＝x2＋2，
∴f(x)∈[2，＋∞)，
当x>1时，f(x)＝，∴f(x)∈(0，1).
综上，f(x)的值域为(0，1)∪[2，＋∞).
　考点一　函数的定义域
1.函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域是________.
答案　
解析　要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，
则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z)，
∴－1≤x≤1且＋kπ<x<kπ＋，k∈Z，
解得<x≤1，
则函数的定义域为.
2.函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为(　　)
A.(2，＋∞)
B.(－1，2)∪(2，＋∞)
C.(－1，2)
D.(－1，2]
答案　C
解析　由题意，得∴－1<x<2.