人教第03讲 解三角形（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

第03讲 解三角形
本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，
平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.
考点一 正余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
考点二 三角形解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
考点三 三角形面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
考点四 测量中的几个数据
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
5.常用结论：
三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
高频考点一 利用正余弦定理解三角形
【例1】（四川省绵阳市2021-2022学年高三下学期期末数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】利用正弦定理可得，根据三角形性质和边角互化得出，，解方程组可得结果.
【详解】因为，所以，即；
因为，由正弦定理可得①；
因为，所以，
所以，整理得②；
由①②可得，解得或（舍）.故选：B.
【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高三模拟）在中，内角所对的边分別是，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理建立方程可求结果.
【详解】因为，所以由余弦定理可得，
整理得；解得.故选：D.
【方法技巧】
利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
【变式训练】
1．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（理））在中，，则（       ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】由二倍角公式求得，再用余弦定理即可求得AC.
【详解】，，
而，，在中，由余弦定理得：
，代入数据得：，
解得：或（舍）故选：B.
2．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（文））在中，角A，B，C所对的边分别为，且，B=，若的面积S=2，则=___________.
【答案】5
【分析】先由面积公式计算，再利用余弦定理计算.
【详解】由三角形面积公式，，所以，.
由余弦定理，.所以，.故