人教第4章 三角函数、解三角形 第3节　三角恒等变换 第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

第3节　三角恒等变换
考试要求　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)＝·cos(α－φ)(其中tan φ＝).
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
2.(易错题)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝(　　)
A. B. C. D.或
答案　B
解析　∵sin α＝，cos β＝，
又α，β为锐角，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
3.计算：＝________.
答案　
解析　＝
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.
4.(易错题)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________.
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)
＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan10°tan 50°＝.
5.(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin 2α的值是________.
答案　
解析　因为sin2＝，
所以＝，即＝，
所以sin 2α＝.
6.函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的周期为________.
答案　π
解析　f(x)＝2
＝2sin，周期T＝＝π.
第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考点一　公式的基本应用
1.已知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　C
解析　∵α∈，且cos α＝－，
∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×
＝－.
2.(2022·贵阳模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点A，B，其中x1<0<x2，则cos(2α－β)＝________.
答案　
解析　由题意可知，sin α＝，sin β＝，
由x1<0<x2可知cos α＝－＝－，cos β＝＝，
所以cos 2α＝－＝，
sin 2α＝2××＝－，
所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝.
3.已知2tan θ－tan＝7，则tan 2θ＝________.
答案　－
解析　2tan θ－tan＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2，
∴tan 2θ＝＝＝－.
感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
考点二　公式的逆用、变形用
角度1　公式的活用
例1 (1)的值为________