人教第4章 三角函数、解三角形 第6节　正弦定理和余弦定理.docx

第6节　正弦定理和余弦定理
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos A<cos B.
4.三角形内角平分线性质定理：如图，在△ABC中，若AD平分∠BAC，则＝.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，A为锐角，但B或C可能为钝角，故△ABC不一定为锐角三角形.
2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理知cos B＝＝＝.
3.已知在△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　D
解析　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.
4.(易错题)在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4.则此三角形(　　)
A.有两解 B.有一解
C.无解 D.有无穷多解
答案　B
解析　由正弦定理得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°.又b＜a，所以B＜A，故B＝45°，所以三角形有一解.
5.(易错题)在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为　　　　.
答案　直角三角形或等腰三角形
解析　由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形.
6.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　　　　.
答案　2
解析　由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，
所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
考点一　利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　)
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，A