人教第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节　离散型随机变量及其分布列.docx

第6节　离散型随机变量及其分布列
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P
…
随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布.(　　)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.
2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
3.(2022·南京十三中月考)一个盒子里有1红1绿2黄共四个手感完全相同的球，每次拿一个不放回，拿出红球即停.设拿出黄球的个数为X，则P(X＝0)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为X＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以P(X＝0)＝＋×＝.
4.(易错题)已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
q2
则常数q＝________.
答案　1－
解析　由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去).
5.(2021·西安月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.
答案　
解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
得P(X＝0)＝.
6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
m
则P(|X－3|＝1)＝________.
答案　
解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.
考点一　离散型随机变量分布列的性质
1.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P
则下列各式正确的是(　　)
A.P(ξ<3)＝ B.P(ξ>1)＝
C.P(2<ξ<4)＝ D.P(ξ<0.5)＝0
答案　C
解析　P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ>1)＝＋＝，B错误；
P(2<ξ<4)＝P(ξ＝