人教考点6-3 数列通项与递推公式综合应用(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点 6-3 数列通项与递推公式综合应用
1．（2022·全国·高考真题（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】
解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
2．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（       ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】
由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练****若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（       ）
A．=2 B．=2
C．=2+1 D．=2+1
【答案】B
【分析】
将 作为整体代入，即可求解.
【详解】
依题意， ，
即 是首项为2，公比为3的等比数列， ；
故选：B.
4.（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；     ②为等比数列；
③为递减数列；            ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【分析】
推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】
由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知是数列的前n项和，，，则___________．
【答案】1011
【分析】
根据递推式计算可知数列具有周期性，即可解出．
【详解】
因为，，所以，因此数列具有周期性，，，故．
故答案为：1011．
6．（2022·江西·高三阶段练****理））已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分别求出，，判断出随着增大而增大，随着增大而减小，且，，即可得到实数的取值范围.
【详解】
由①，可得②，所以②－①得，即.因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列，所以，故.
当时，，当时，也符合，故.
显然随着增大而增大，随着增大而减小，且，，
故要使得恒成立，则.
故选：B
7．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练****理））已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到.
【详解】
，
为偶函数，图象关于轴对称，
的零点关于轴对称，又有唯一零点，的零点为，
即，，即，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则.
故选：C.
8．（2022·青海玉树·高三阶段练****文））已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.
故选：B.
9.
（2022·全国·高三专题练****数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】
先由条件得，再结合累乘法求得的通项公式即可.
【详