人教版高中数学1 第1讲　绝对值不等式 新题培优练.doc

[基础题组练]
1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1解得1≤x≤2；
当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．
(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－(|x|－)2＋≤，
且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当(x＋a)(x－2)≤0时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若方程f(x)＝x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|
＝
所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；
当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；
当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．
综上可得f(x)≥0的解集为.
(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．
易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1<a<0.所以实数a的取值范围为(－1，0)．
4．(2019·辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．
(1)若f(1)<11，求a的取值范围；
(2)若∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范围．
解：(1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝
当a≤1时，3－2a<11，解得a>－4，
所以－4＜a≤1；
当1<a<2时，1<11恒成立；
当a≥2时，2a－3＜11，
解得a<7，所以2≤a<7.
综上，a的取值范围是(－4，7)．
(2)因为∀a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，
又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，
所以|x|≥x2－x－3，
所以或
解得0≤x≤3或－≤x＜0，
所以x的取值范围为[－，3]．
[综合题组练]
1．设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.
(1)解不等式f(x)＋g(x)<2；
(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.
解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|<2.
①当x<2时，原