人教版高中数学第2讲　等差数列及其前n项和.doc

第2讲　等差数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等差数列与等差中项
(1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
二、教材衍化
1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________．
解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.
答案：487
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.
答案：180
3．已知等差数列5，4，3，…，则前n项和Sn＝________．
解析：由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)．
答案：(75n－5n2)
4．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________．
解析：由已知可得
解得所以S8＝8a1＋d＝32.
答案：32
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
二、易错纠偏
(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；
(2)错用公式致误；
(3)错用性质致误．
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
2．首项为30的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．
解析：由题意知a1＝30，a8＜0，a7≥0.即解得－5≤d＜－.
答案：
3．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案：130
考点一　等差数列的基本运算(基础型)
探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和