人教版高中数学第2讲　第1课时　利用导数研究函数的单调性.doc

第2讲　导数的应用
一、选择题
1.函数f(x)＝xln x，则(　　)
A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减
C.在上递增 D.在上递减
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得0<x<，故选D.
答案　D
2.下面为函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是(　　)
A. B.(π，2π)
C. D.(2π，3π)
解析　y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，当x∈时，恒有xcos x>0.
答案　C
3.已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
答案　A
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.
答案　B
5.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，2] B.(4，＋∞]
C.[－∞，2) D.(0，3]
解析　∵f(x)＝x2－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，
当x－≤0时，有0<x≤3，
即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，
∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.
答案　A
二、填空题
6.函数f(x)＝的单调递增区间为________.
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1.
答案　(1，＋∞)
7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.
解析　f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，
由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，
即x2＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立.
令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，
则有
即解得a≥.
答案　
8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________.
解析　对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.
当x∈时，
f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a>0，解得a>－.
所以实数a的取值范围是.
答案　
三、解答题
9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间.
解　(1)∵f(x)＝xea－