人教版高中数学第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式.doc

第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A.sin(－x)＝sin x
B.sin＝cos x
C.cos＝－sin x
D.cos(x－π)＝－cos x
答案　CD
解析　sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
sin＝－cos x，故B不成立；
cos＝－sin x，故C成立；
cos(x－π)＝－cos x，故D成立.
3.(2022·南昌一模)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案　A
解析　∵3sin＋sin(θ＋π)＝0，
∴3cos θ－sin θ＝0，
∴tan θ＝＝3，
∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝－.
4.(2021·沈阳郊联体一模)已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin 2α－cos2α＝(　　)
A. B.－ C.－ D.
答案　B
解析　由条件得2sin α＝3cos α，
即tan α＝，
故原式＝
＝
＝＝＝－.
5.化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
6.(易错题)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为________.
答案　
解析　∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，
∴cos α－sin α＞0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
　考点一　同角三角函数基本关系式的应用
角度1　切弦互化
例1 (1)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________.
答案　－
解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α＜0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
(2)已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)⇒cos θ－3cos θ＝－sin θ⇒tan θ＝2，
则sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝.
角度2　“和”“积”转换
例2 (1)已知sin