人教版高中数学第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式.doc

第6节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
考试要求　1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
1.相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__，与B，与也都相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称上面的公式为全概率公式.
1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的
概率的求和问题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　)
(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.(　　)
(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).(　　)
(4)P(A)＝P(BA)＋P(B).(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0；
(3)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(4)P(B)＝P(BA)＋P(B).
2.(易错题)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；
由题意得，选手能进入第三关的事件为A1B1＋A2B1＋A1B2＋A2B2，
所求概率为P(A1B1＋A2B1＋A1B2＋A2B2)＝×＋××＋××＋×××＝.
3.(易错题)(2021·滁州期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.
根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P(B|A)＝＝.
4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案　B
解析　事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙是互斥事件，不是相互独立事件，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，
P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，
P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.
5.(2022·青岛检测)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为(　　)
A.0.4 B.0.16 C.0.68 D.0.17
答案　C
解析　设Ai表示第i次打击后该构件没有受损，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率是0.68.
6.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个