2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.8　函数模型及其应用.docx

§2.8　函数模型及其应用
考试要求　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
微思考
解函数应用题的一般步骤是什么？
提示　解函数应用题的步骤
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　×　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　)
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(　√　)
(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　×　)
题组二　教材改编
2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
答案　D
解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________．
答案　
解析　由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，
又m·2t＋21－t≥2，∴2≥2，∴m≥.
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
答案　3
解析　设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，
则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，y最大．
题组三　易错自纠
5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，由n<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．
6．某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且T＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时表示中午12∶00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是________．
答案　8℃
解析　由题意知，上午8时，即t＝－4，
因此所求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8℃.
题型一 用函数图象刻画变化过程
1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)
答案　B
解析　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后