2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 高考专题突破五 第3课时　证明与探索性问题.docx

第3课时　证明与探索性问题
题型一 证明问题
例1 (八省联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
(1)解　设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
在－＝1中，令x＝c，则－＝1，
则＝－1＝，故y＝±，
若|AF|＝|BF|，则a＋c＝，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，
所以e2－e－2＝0，所以e＝2.
(2)证明　由(1)知双曲线方程为－＝1，
设B(x，y)(x>0，y>0)，当x≠c时，kAB＝，kBF＝，
设∠BAF＝θ，
则tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，
因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF.
当x＝c时，由题意知∠BFA＝，∠BAF＝，满足∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
思维升华 圆锥曲线中的证明问题常见的有
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．
跟踪训练1 已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y＝x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M(－1,0)对称．
(1)求E和Γ的标准方程；
(2)过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求证：|CD|>|AB|.
(1)解　设Γ的标准方程为x2＝2py，p>0，
则F.
已知E在直线y＝x上，故可设E.
因为E，F关于M(－1,0)对称，
所以解得
所以抛物线Γ的标准方程为x2＝4y.
因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝1，
所以圆E的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)证明　由题意知，直线l的斜率存在，
设l的斜率为k，那么其方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．
则E(－2，－1)到l的距离d＝，
因为l与E交于A，B两点，所以d2<r2，
即<1，解得k>0，
所以|AB|＝2＝2.
由消去y并整理得，x2－4kx－4k＝0.
Δ＝16k2＋16k>0恒成立，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k，
那么|CD|＝|x1－x2|＝·＝4·.
所以＝＝>＝2.
所以|CD|2>2|AB|2，即|CD|>|AB|.
题型二 探索性问题
例2 (2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
解　(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．
由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，
所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4