2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 强化训练10　圆锥曲线中的综合问题.docx

强化训练10　圆锥曲线中的综合问题
1．(2021·山西大学附属中学模拟)椭圆＋＝1的长轴长为(　　)
A．4 B．5 C．10 D．8
答案　C
解析　由题意知，椭圆＋＝1，即a2＝25，
所以其长轴长为2a＝10.
2．(2021·重庆一中模拟)若椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过左焦点F′作倾斜角为60°的直线交椭圆C于P，Q两点，则△PQF的周长为(　　)
A．6 B．8
C．6 D．8
答案　B
解析　由椭圆方程可知a2＝8⇒a＝2，
根据椭圆的定义可知|PF|＋|PF′|＝2a，|QF|＋|QF′|＝2a，
△PQF的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF′|＋|QF′|＋|PF|＋|QF|＝4a＝8.
3．(2020·怀化质检)“m>1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由曲线＋＝1表示椭圆，
得解得m∈(1,2)∪(2,3)，
由于(1,2)∪(2,3)⊆(1，＋∞)，
所以“m>1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
4．已知点A(0，－)，B(2,0)，点P为函数y＝2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．1＋2 B．7 C．3 D．不存在
答案　B
解析　由y＝2，得－x2＝1(y>0)．
设点A′(0，)，即点A′(0，)，A(0，－)为双曲线－x2＝1的上、下焦点．
由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，
则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|≥4＋|BA′|＝7.
5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　)
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PF2Q的周长为4
答案　ACD
解析　由已知得，2b＝2，b＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
∴椭圆方程为x2＋＝1.
如图．
∴|PQ|＝＝＝，
△PF2Q的周长为4a＝4.
故选ACD.
6．(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
答案　AC
解析　因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正确．
7．已知双曲线C：－＝1，且圆E：(x－2)2＋y2＝1的圆心是双曲线C的右焦点．若圆E与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为________．
答案　－y2＝1
解析　∵c＝2⇒a2＋b2＝4.①
取渐近线方程为bx－ay＝0，
又＝1⇒a2