2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　×　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　×　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(　√　)
(4)在圆中最长的弦是直径．(　√　)
教材改编题
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
答案　A
解析　圆心到直线的距离为d＝＝1<4，所以直线与圆相交．
2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4 B．2 C. D.
答案　B
解析　∵x2＋y2－2x－4y＝0，
∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，
又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，
∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.
3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
答案　D
解析　圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
题型一　直线与圆的位置关系
命题点1　位置关系的判断
例1　(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案　ABD
解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，
所以d＝>|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案　C
解析　方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－