2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.12　圆锥曲线中定点与定值问题.docx

§8.12　圆锥曲线中定点与定值问题
题型一　定点问题
例1　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点．
(1)解　设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
由椭圆E过A(0，－2)，B两点，
得解得
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明　当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1，
由得y2＝，
∴y＝±.
结合题意可知M，N，
∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－.
易知点T的横坐标xT∈，
直线AB的方程为y－(－2)＝×(x－0)，即y＝x－2，
由得xT＝3－，
∴T.
∵＝，∴H，
lHN：y－＝(x－1)，
即y＝x－2.
此时直线HN过定点(0，－2)．
当直线MN的斜率存在时，如图，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
lMN：y＝kx＋m(由直线MN过点P(1，－2)可得k＋m＝－2)．
由
得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1，
与直线AB的方程联立，得
得xT＝，
∴T.
∵＝，∴H(3y1＋6－x1，y1)，
lHN：y－y2＝(x－x2)，
即y＝x＋y2－·x2.
令x＝0，得y＝y2－
＝
＝.
∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)
＝k(x1＋x2)＋2m＝，
x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝，
∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2＝＋＝＝，
－(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)＝＋6＋＝＝，
∴y＝＝－2，
∴直线HN过定点(0，－2)．
综上，直线HN过定点(0，－2)．
思维升华　求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
跟踪训练1　(2023·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?
解　(1)由题意知解得b＝c＝，
又a2－b2＝c2，则a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知M(2,0)，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，
此时A，B，
由·＝0得·＝0，
解