人教版高中数学5.1 三角函数的定义（精练）（提升版）（解析版）.docx

5.1 三角函数的定义（精练）（提升版）
题组一 扇形的弧长与面积
1．（2022.河南省）已知直线将圆分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线与圆交于，两点，由圆可知，圆心的坐标为，半径为.圆面积为．
因为圆心到直线的距离为，
所以，又，
所以，从而扇形的面积为，
所以部分的面积为，
故在圆内任取一点，则该点落在部分的概率.
故选：B．
2．（2022浙江省金丽衢）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________.
【答案】     3    
【解析】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为，
顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，
由4和6的最小公倍数：，
所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.
这一轮中，点A路径是圆心角为，半径分别为2，，2的三段弧，故路径长，∴点A与P重合时总路径长为.故答案为：3，.
3．（2022湖南省）已知为正方体表面上的一动点，且满足，则动点运动轨迹的周长为__________.
【答案】
【解析】由可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面，面，面上运动，
当P在面上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设，由得：，
即，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径的一段圆弧，
因为 ,故 ,
所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为
同理，P点在面内情况亦为；
P点在面上时，因为，,
所以，
所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，
综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为：.
4．（四川省南充市2022届高考适应性考试（二诊）理科数学试题）已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为___________.
【答案】
【解析】因为正方体的棱长为，所以，所以，
设到的距离为，由，得，
平面，平面，，
又，，平面，
，同理可证，又，面，
点在所在平面的轨迹是以为半径的圆，
内切圆的半径为，该圆一部分位于三角形外，
如图有，解得，，圆在三角形内的圆弧为圆周长的一半，，故答案为：.
5．（河北省张家口市2022届高三第一次模拟数学试题）(多选）已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面内一点，则下面结论中正确的有（       ）
A．平面
B．以为球心､为半径的球面与该正方体侧面的交线长是
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】对于A选项：
因为平面即为平面，又因为，且平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B选项：
该球面与侧面的交线为弧，是以为圆心，圆心角为的弧，所以弧长为，故B正确；
对于C，D选项：
将沿翻折到与在同一平面且点，D在直线的异侧，作于点G，交于P.由两点之间，直线最短.可得G、F重合时，最小.此时，设，则,
所以.
在中，,所以，则的最小值是，故C不正确，D正确.故选:ABD.
题组二 三角函数的定义
1．（2022·全国·高三专题练****文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且
为终边上一点，则(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数定义可知，，
解得或(舍去)，则.选：C.
2．（2022·全国·模拟预测）已知是第二象限角，终边与单位圆交于点，若，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据三角函数定义知，由得，
所以，所以或.
又是第二象限角，所以，所以，即，故选C.
3．（2022·全国·模拟预测）若将角的终边绕原点逆时针旋转90°后与单位圆的交点的纵坐标为，则的值为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，从而有.故选：A
4．（2022·全国·高三专题练****文））已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因