人教版高中数学第2章 §2.1　函数的概念及其表示.docx

§2.1　函数的概念及其表示
考试要求　1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　)
教材改编题
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
答案　C
2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
3．(2022·长沙质检)已知函数f(x)＝则f 等于(　　)
A．－1 B．2 C. D.
答案　D
解析　∵f ＝log3<0，
∴f ＝＝.
题型一　函数的定义域
例1　(1)(2022·武汉模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案　B
解析　要使函数有意义，
则需
解得－1<x≤2且x≠0，
所以x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案　[1,3]
解析　∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]．
延伸探究　将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案　[2,4]
解析　∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定义域为[2,4]．
教师备选
1．(2022·西北师大附中月考)函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是(　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案　B
解析　由题意，得
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案　D
解析　令1－2x>0，
即2x<1，即x<0.
∴f(x)的定义域为(－∞，0)．
∴函数中，有解得x<1且x≠－1.
故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
思维升华　(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　要使函数f(x)＝