人教版高中数学第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值(解析版）.docx

第3讲　利用导数研究函数的单调性、极值、最值
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
突破二：利用导数研究函数的单调性
角度1：利用导数求函数的单调区间（不含参）
角度2：已知函数在区间上单调
角度3：已知函数在区间上存在单调区间
角度4：已知函数在区间上不单调
角度5：已知函数有三个单调区间
突破三：利用导数研究函数的极值与最值
角度1：求已知函数的极值（点）、最值
角度2：根据函数的极值（点）、最值，求参数
突破四：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
角度2:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
角度3:导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即
，相应的切线方程为.
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、利用导数研究函数的单调性
（1）求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
（2）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（3）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间，有解.
②已知在区间上存在单调减区间，有解.
（4）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
3、函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
4、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
5、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：重难点题型突破
突破一：导数的几何意义
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】C
【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.
故选：C
3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】设切点为，
由已知得，则切线斜率，切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或
故选：C
4．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为（    ）
A