人教版高中数学第3讲 数列解答题（数列求和） (解析版）.docx

第3讲　数列解答题（数列求和）
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：倒序相加法
突破二：分组求和法
突破三：裂项相消法
突破四：错位相减法求和
突破五：奇偶项讨论求和
突破六：特定通项数列求和
突破七：插入新数列混合求和
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、倒序相加法
如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
3、裂项相消法
3.1等差型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
3.2无理型
①
如：
3.3指数型
①
如：
3.4通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
4、错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
5、奇偶项讨论求和
5.1通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
5.2通项含有的类型；例如：
6、特定通项数列求和
6.1通项含绝对值：如：求的前项和
6.2通项含取整函数：如：求的前项和
6.3通项含自定义符号如：记表示x的个位数字，如
求的前项和
7、插入新数列混合求和
7.1插入新数列构成等差
7.2插入新数列构成等比
7.3插入新数混合
第二部分：重难点题型突破
突破一：倒序相加法
1．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）
A．230 B．115 C．110 D．100
【答案】B
【详解】，①
，②
两式相加，又因为
故，所以
所以的前20项的和为
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练****已知函数为奇函数，，即，则数列的前项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于函数为奇函数，则，即，
，，
所以，，
因此，数列的前项和为.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练****已知是上的奇函数，,,则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题已知是上的奇函数，
故，
代入得：，
∴函数关于点对称，
令，
则，
得到，
∵，
，
倒序相加可得，
即，
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练****已知若等比数列满足则（    ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【详解】
等比数列满足
即2020
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练****已知函数，则________.
【答案】##
【详解】解：，
，
令，①
，②
①②得：，
，即．
故答案为：.
6．（2022·黑龙江·尚志市尚志中学高三阶段练****已知函数，数列为等比数列，，，则______．
【答案】
【详解】∵，
∴．
∵数列是等比数列，∴，
∴．
设，①
则，②
①＋②，得
，
∴．
故答案为：
突破二：分组求和法
1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）解：设等比数列首项为，公比为．
由已知得　代入可得．
于是．
故，解得或．
又数列为递增数列，故，
.
设等差数列首项为，公差为．
所以.
所以.
（2）解：由题得.
所以数列的前项和.
2．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）已知数列满足（，且），且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在数列中，由得，而，
则数列是公比为2的等比数列，
因成等差数列，即，
有，解得，
所以数列的通项公式为
（2）由（1）得
=
3．（2022·广东·中山大学附属中学高三期中）已知数列满足：，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)数列，求满足的最大正整数