人教版高中数学第4讲 函数及其性质（解析）.docx

第4讲 函数及其性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
基本概念
1.函数的概念
概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量取值的范围
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D
如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数
如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数
图像
描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
考点和典型例题
1、函数的概念
【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知是定义在R上的奇函数，且
时，，则（       ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【答案】A
【详解】
由已知可得，，因此，．
故选:A．
【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数则（       ）
A．10 B．9 C．12 D．11．
【答案】A
【详解】
当时，，
所以．
故选：A.
【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，则___________.
【答案】11
【详解】
由于，
从而.
故答案为：11.
【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数 若，则实数a的值等于___________.
【答案】
【详解】
①当即时，，则（舍）
②当即时，
Ⅰ：当,即 时,有
Ⅱ:当 时，即 时，有 无解
综上，.
故答案为：
2、单调性及其应用
【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点