人教版高中数学第4章 §4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
(4)sin α＋cos α＝sin.(　×　)
教材改编题
1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.
2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .
答案　
解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝.
3．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ .
答案　
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝
＝＝.
题型一　两角和与差的三角函数公式
例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵cos α＋cos＝1，
∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α
＝
＝cos＝1，
∴cos＝.
(2)化简：①sin x＋cos x＝ .
答案　2sin
解析　sin x＋cos x＝2
＝2sin.
②sin＋cos＝ .
答案　sin
解析　原式＝
＝sin
＝sin.
教师备选
1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin 
＝2sincos ＝sin＝1.
所以sin＝.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，
∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1　(1)函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)
A. B．－2
C．－ D.
答案　C
解析　y＝sin＋sin
＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos －cos 2xsin ＝sin 2x.
∴y的最小值为－.
(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝