人教版高中数学第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲+精练）（教师版）.docx

第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
高频考点五：值域法解决双参等式问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，
设，，∵，∴，
∴在上恒为增函数，∴，∴，
故选：B.
2．（2022·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意：
，令，
则，
令，
则，易知单调递增，
，所以单调递增，
故，故，
则在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，
故选：B.
3．（2021·全国·高二课时练****已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（       ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
函数的定义域为，
.
令，得或（舍）.
当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在，使得不等式成立，
所以，
所以实数m的最小值为1.
故选：C
4．（2021·广东·高三专题练****已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为
A．4 B．
C． D．
【答案】A
试题分析：，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A.
考点：函数的图象和性质.
【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法
1．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练****已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为，所以，
在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，
令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，
，故实数的取值范围为．
故选：D
2．（2022·河南焦作·二模（文））已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，，
所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增，因为，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A
【点睛】
恒（能）成立求参数的取值范围问题常见思路：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）