人教版高中数学第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示.docx

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)
教材改编题
1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2,3)，e2＝
答案　BD
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案　A
解析　设P(x，y)，由题意知＝，
∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即∴
3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．
答案　2或－1
解析　2a－b＝(2x－2,3－x)，
∵(2a－b)∥a，
∴2x－2＝x(3－x)，
即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
(2)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
答案　6
解析　方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，
则＝＋，
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以||＝2，||＝4，
所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.
教师备选
1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交
△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量等于(　　)
A．a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案　C
解析　设圆的半径为r，
在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，
所以∠BAC＝，∠ACB＝，
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，
所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，
则根据圆的性质得BD＝AB，
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，
所以四边形ABDO为菱形，
所以＝＋＝a＋b.
2.(2022·苏州质检