人教版高中数学8 第7讲　正弦定理和余弦定理的应用举例　新题培优练.doc

[基础题组练]
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°　　　 B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选D.由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.
所以AC＝10(km)．
3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．
4．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β.又cos α＝ cos β，sin2 α＋cos2 α＝1，解得sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得v＝100.
5．地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　　)
A．50 m，100 m B．40 m，90 m
C．40 m，50 m D．30 m，40 m
解析：选B.设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.
则tan α＝，tan ＝，
根据三角函数的倍角公式有＝.①
因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，
所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，
由tan β＝，tan＝，
得＝.②
联立①②解得H＝90，h＝40.
即两座塔的高度分别为40 m，90 m.
6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．
解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，＝，
所以MN＝68×＝34(海里)．
又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，
所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．
答案：
7.如图，在塔