人教版高中数学10 第9讲 第1课时　圆锥曲线中的范围、最值问题　新题培优练.doc

[基础题组练]
1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是(　　)
A．(10，14)　　　　　　　 B．(12，14)
C．(10，12) D．(9，11)
解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，
由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，
圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，
由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，可得6＋xP∈(10，12)，
故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为________．
解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝－.设直线AB的方程为y＝，联立直线AB与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
答案：4
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求·的取值范围．
解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，
即椭圆C的方程是＋＝1.
(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，
·＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，
因为0＜≤10，所以－8＜·≤2，
所以·的取值范围是[－8，2]．
4．(2019·郑州第一次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求·的最大值．
解：(1)由题意知＝c，
则3a2b2＝c2(a2＋4b2)，
即3a2(a2－c2)＝c2[a2＋4(a2－c2)]，
所以a2＝2c2，所以e＝.
(2)因为△PQF2的周长为4，
所以4a＝4，即a＝.
由(1)知b2＝c2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．
①若直线l的斜率不存在，则可得l⊥x轴，方程为x＝－1，P，Q，＝，＝，故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2