人教版高中数学第2讲　第2课时　利用导数研究函数的极值、最值.doc

第2课时　利用导数研究函数的极值、最值
一、选择题
1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A.－4 B.－2 C.4 D.2
解析　f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－2<x<2时，f′(x)<0，x>2时，
f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.
答案　D
2.函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)
A. B.1 C.0 D.不存在
解析　f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.
答案　A
3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B.
C. D.
解析　由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
答案　C
4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.5
解析　设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝，要使用料最省
，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.
∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小.故选A.
答案　A
5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，
∴a>6或a<－3.
答案　B
二、填空题
6.(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，
所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值.
答案　5
7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________.
解析　当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.
∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.
答案　2
8.设a∈R，若函数y＝ex＋