人教版高中数学第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式.doc

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．
(2)商数关系：tan x＝.
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
常用结论
1．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
2．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝；
cos2α＝＝.
二、教材衍化
1．若sin α＝，<α<π，则tan α＝________．
解析：因为<α<π，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.
答案：－
2．已知tan α＝2，则的值为________．
解析：原式＝＝＝3.
答案：3
3．化简·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·cos α＝sin α.
答案：sin α
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
(1)不注意角的范围出错；
(2)诱导公式记忆不熟出错．
1．已知cos(π＋α)＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C．± D．±
解析：选C．因为cos(π＋α)＝，
所以cos α＝－，
则α为第二或第三象限角，
所以sin α＝±＝±.
所以tan α＝＝＝±.
2．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝________，cos＝________．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝－，得sin α＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sin α＝.
答案：　
考点一　同角三角函数的基本关系式(基础型)
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
核心素养：数学运算
角度一　“知一求二”问题
(1)(2020·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为________．
【解析】　(1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.故选D．
(2)由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
【答案】　(1)D　(2)－
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
角度二　sin α，cos α的齐次式问题
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解】　由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次
整式的化简求值的解题策略
已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．
　
角度三　sin α±cos α，sin αcos α