2022届高考数学一轮复习（人教版）第1章 §1.5　一元二次不等式及其解法.docx

§1.5　一元二次不等式及其解法
考试要求　1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
3.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
微思考
1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？
提示　二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√　)
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)
题组二　教材改编
2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B等于(　　)
A．(－2,3) B．(1,3)
C．(3,4) D．(－2,4)
答案　B
解析　由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，
所以A∩B＝(1,3)．
3．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案　(－4,1)
解析　由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4<x<1.
4．函数y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是____________________________．
答案　∪
解析　由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为∪.
题组三　易错自纠
5．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
∴解得∴a＋b＝－14.
6．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．
答案　(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析　由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
题型一 一元二次不等式的求解
命题点1　不含参的不等式
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(　　)
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
答案　D
解析　∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4,1,3,5}，
∴A∩B＝{1,3}．
(2)不等式≥0的解集为(　　)
A．[－2,1] B．(－2,1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
答案　B
解析　原不等式化为
即
解得－2<x≤1.
命题点2　含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解得1<x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；