2022届高考数学一轮复习（人教版）第2章 §2.7　函数与方程.docx

§2.7　函数与方程
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在性定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
微思考
1．函数f(x)满足什么条件，才能保证f(x)在(a，b)上有唯一零点．
提示　f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．能否用二分法求任意方程的近似解．
提示　不能．用二分法求方程的近似解应具备两个条件，一是方程对应的函数在零点附近连续不断，二是该零点左、右的函数值异号．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)若f(x)在(a，b)上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上没有零点．(　×　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)
题组二　教材改编
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是(　　)
答案　C
解析　对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案　B
解析　由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．
4．若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，4)
题组三　易错自纠
5．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为(　　)
A．－ B．0 C. D．0或－
答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，
故f(x)只有一个零点为－1.
当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.
综上有a＝0或－.
6．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案　0，－
解析　由题意知2a＋b＝0，
则b＝－2a，
令g(x)＝bx2－ax＝0，
得x＝0或x＝＝－，
所以g(x)的零点为0，－.
题型一 函数零点所在区间的判定
1．(2020·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　C
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
故f(x)在(2,3)上有唯一零点，故选C.
2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A