2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.6　解三角形.docx

§4.6　解三角形
考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的几个有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
微思考
1．三角形中有哪些三角函数关系？
提示　三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
2．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件吗？
提示　在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B，由sin A>sin B也可推出A>B，故A>B是sin A>sin B的充要条件．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)
(2)当b2＋c2－a2<0时，三角形ABC为钝角三角形．(　√　)
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)
(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)
题组二　教材改编
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝，故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案　2
解析　∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
4.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝ m.
答案　12
解析　设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，
解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
题组三　易错自纠
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．150°
答案　BC
解析　根据正弦定理＝得，
sin B＝＝＝，
由于b＝>1＝a，
所以B＝45°或B＝135°.
故选BC.
6．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案　等腰三角形或直角三角形
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三