2022届高考数学一轮复习（人教版）第6章 高考专题突破三　高考中的数列问题.docx

高考专题突破三　高考中的数列问题
考试要求　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.3.了解数列是一种特殊的函数.4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(2)常见的裂项技巧
①＝－.
②＝.
③＝.
④＝－.
⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前
n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
题型一 数列与数学文化
1．(多选)(2020·山东曲阜一中月考)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是(　　)
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D．此人后三天共走了42里路
答案　ACD
解析　设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列，
因为S6＝378，所以S6＝＝378，
解得a1＝192，
对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于a3＝192×＝48，>，所以B不正确；
对于C，由于378－192＝186,192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，a4＋a5＋a6＝378－192－96－48＝42，所以此人后三天共走了42里路，所以D正确．
2．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为(　　)
A．184斤 B．176斤
C．65斤 D．60斤
答案　A
解析　依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{an}，公差为d，前
n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝a1＋(8－1)d＝184.
3．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　C
解析　不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn}，
则由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn，
则Sn＝＋＝2n－n－1＋1，
当n＝3时，S3＝<10，
当n＝4时，S4＝>10，
故两个老鼠在第4天相逢．
4．(2020·潍坊模拟)《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90～100岁)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为(　　)
A．94岁 B．95岁 C．96岁 D．98岁
答案　B
解析　设年长者的年龄为t，由已知，其余19位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d＝1的等差数列，设最小者的年龄为a1，由“遂千百五二十岁”知，一遂就是1 520岁(一遂有20部，一部有4章，一章有19岁，且20×4×19＝1 520)．所以这20位老人的年龄之和为19a1＋d＋t＝1 520，整理得a1＋9＋＝80.因为t∈N*