2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题.docx

§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题
考试要求　恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．
题型一　分离参数求参数范围
例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；
(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0；
当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝0时，函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值．
即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极小值为0，无极大值．
(2)因为f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，
所以ex－x2－ax－1≤0在[0，＋∞)上有解，
当x＝0时，不等式成立，此时a∈R，
当x>0时，不等式等价于a≥－在(0，＋∞)上有解，
令g(x)＝－，
则g′(x)＝－＝，
由(1)知当a＝1时，f(x)>f(0)＝0，
即ex－(x＋1)>0，
所以当0<x<1时，g′(x)<0；
当x>1时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x＝1时，g(x)min＝e－2，
所以a≥e－2，
综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞)．
思维升华　分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
跟踪训练1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，
则f′(x)＝1－ex，
当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值．
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，
则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)，
则问题转化为a≤max(x>0)，
令h(x)＝，x>0，
h′(x)＝＝，
当0<x<时，h′(x)>0，当x>时，h′(x)<0，
所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
所以h(x)max＝h()＝，所以a≤.
题型二　等价转化求参数范围
例2　(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，
求实数m的取值范围．