2024年高考数学一轮复习（人教版） 第5章　§5.2　平面向量基本定理及坐标表示.docx

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．(　×　)
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.(　√　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)
教材改编题
1．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
答案　D
解析　由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底．而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底．
2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案　A
解析　设P(x，y)，由题意知＝，
∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，
即∴
3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是(　　)
A．a－c与b共线 B．b＋c与a共线
C．a与b－c共线 D．a＋b与c共线
答案　C
解析　a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；
b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；
b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；
a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.
题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则等于(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
答案　C
解析　因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且＝2，
所以＝－，
所以＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－.
(2)(2023·天津模拟)已知在△ABC中，＝a，＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若＝xa＋yb，则x＋y＝________.
答案　－
解析　因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是△ABC的中位线，所以＝＝，则＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－a＋b，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C．若＝x＋y，则P，M，A，B共面
D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得＝x＋y
答