2024年高考数学一轮复习（人教版） 第7章　§7.2　球的切、接问题[培优课].docx

§7.2　球的切、接问题
球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心．
题型一　定义法
例1　(1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是(　　)
A．14π B．16π C．18π D．20π
答案　D
解析　在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝2，AC＝4，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 45°＝8＋16－2×4×2×＝8，
则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
所以△PBC为直角三角形，
又△PAC为直角三角形，
所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，
又AC＝4，PA＝2，
所以PC＝＝＝2，
所以外接球半径为，
所以所求外接球的表面积S＝4π×()2＝20π.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
答案　A
解析　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．
设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；
当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，
所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
综上，该球的表面积为100π.
思维升华　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
跟踪训练1　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　C
解析　由题意作图如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.
∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
∴球O的半径R＝OA＝＝.
题型二　补形法
例2　(1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为(　　)
A.2 B．4 C．2 D.
答案　C
解析　因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，
所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直，
故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球．
设正方形ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1，
故2R＝＝，则R＝.
设内切球球心为I，由VO－DEF＝·S△OEF·OD＝，三棱锥O－DEF的表面积S＝4，
VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝Sr，
所以r＝，则有＝2.
(2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．
答案　　6π
解析　如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，
可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，
因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，
BC＝CE＝1，
所以S△BCE＝CE×BC＝×1×1＝，
直三棱柱ADF－BCE的体积
V＝S△BCE·AB＝×2＝1，
添加的三棱锥的体积为V＝.
方法一　如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，
因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，
所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的