人教版高中数学第02讲 等差数列及其前n项和 (精讲）（教师版）.docx

第02讲 等差数列及其前n项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等差数列基本量的运算
题型二：等差数列的判断与证明
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
角度2：等差数列前n项和的性质
角度3：等差数列的最值问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．
(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）
②等差中项法：
2.等差数列的有关公式
(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
(2)等差数列的前项和公式(其中)．
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．
(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列为等差数列，若，则的值为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
由题意得：，所以，
故
故选：D
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是等差数列的是（       ）
A．0，0，0，…，0，…
B．－2，－1，0，…，n－3，…
C．1，3，5，…，2n－1，…
D．0，1，3，…，，…
【答案】D
选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；
选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；
选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；
选项D中，，不是等差数列，
故选：D．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（       ）
A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒
【答案】D
设每秒钟通过的路程构成数列，
则是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有，
解得．
故选：D.
4．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．
【答案】4
设公差为，则，
解得：，所以
故答案为：4
5．（2022·全国·高二课时练****数列中，，，那么这个数列的通项公式是______．
【答案】
数列中，因，即，因此，数列是等差数列，公差d=3，
所以数列的通项公式是.
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等差数列基本量的运算
例题1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)n.
(1)设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，
所以；
(2)n.
例题2．（2022·全国·高二课时练****在等差数列中，，．
(1)求的值；
(2)2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
【答案】(1)8082
(2)2022是数列中的第506项
(1)由题意，设等差数列的首项为，公差为．
由，，即解得
所以，数列的通项公式为．
所以．
(2)令，解得，所以，2022是数列中的第506项．
例题3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列是等比数列，，
(1)求数列的通项公式及其前项和；
(2)若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式及其前项和.
【答案】(1)，.
(2),.
(1)设数列的公比为，则，得，
所以.