人教版高中数学第2章 §2.9　函数的零点与方程的解.docx

§2.9　函数的零点与方程的解
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　√　)
教材改编题
1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
－4
－2
1
4
2
－1
－3
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)
答案　BCD
解析　由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，
f(5)f(7)<0，
∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．
2．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
答案　－2，e
解析　或
解得x＝－2或x＝e.
3．方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是________．
答案　(3,6)
解析　设f(x)＝2x＋x，
∴f(x)在(1,2)上单调递增，
又f(1)＝3，f(2)＝6，
∴3<k<6.
题型一　函数零点所在区间的判定
例1　(1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　AD
解析　f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，
f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
教师备选
(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案　D
解析　f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0⇒x>3，f′(x)<0⇒0<x<3，
∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
又f ＝＋1>0，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，