人教版高中数学第4章 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念.docx

§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　×　)
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是.(　×　)
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　×　)
(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．(　×　)
教材改编题
1．若sin α<0，且tan α>0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案　12π
解析　∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，
∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cos α＝________.
答案　－　
题型一　角及其表示
例1　(1)(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案　AD
解析　B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；
C项，第三象限角的集合为，故错误；
D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
解得－≤k≤－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确．
(2)已知α为第三象限角，则是第______象限角，2α是________的角．
答案　二、四　第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析　∵α是第三象限角，
即2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋<<kπ＋π，k∈Z，
4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
教师备选
1．角－2 023°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　B
解析　∵－2 023°＝－6×360°＋137°，
∴它是第二象限角．
2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
跟踪训练1　(1)下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(