人教版高中数学第4章 §4.4　简单的三角恒等变换.docx

§4.4　简单的三角恒等变换
考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)tan ＝＝.(　√　)
(2)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.(　×　)
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　√　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)
教材改编题
1．sin 15°cos 15°等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
2．化简的结果是(　　)
A．sin 2 B．－cos 2
C.cos 2 D．－cos 2
答案　D
解析　因为＝，
又cos 2<0，所以可得选项D正确．
3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α等于(　　)
A．－ B．2
C．－ D．－
答案　D
解析　由tan(π＋2α)＝－，
得tan 2α＝－，
又tan 2α＝＝－，
解得tan α＝－或tan α＝2，
又α是第二象限角，所以tan α＝－.
题型一　三角函数式的化简
例1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，
解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
(2)化简：＝ .
答案　cos 2x
解析　原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
教师备选
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
答案　A
解析　由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
2．已知0<θ<π，则＝ .
答案　－cos θ
解析　原式＝
＝cos ·
＝.
因为0<θ<π，
所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.
思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1　(1)2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
答案　B
解析　2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，
∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
(2)化简等于(　　)
A. B.
C. D．2
答案　B
解析　原式＝
＝
＝＝＝.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　(1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　D
解析　sin 40°·(tan 10°－)
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝
＝＝－1.
(2)cos 20°·cos 40°·cos