人教版高中数学第2节 平面向量基本定理及坐标表示.doc

第2节　平面向量基本定理及坐标表示
考试要求　1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量的基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的
.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共线向量不可以作为基底.
(3)若b＝(0，0)，则＝无意义.
2.(2022·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B.(－6，8)
C. D.(6，－8)
答案　D
解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若 A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A.－2 B. C.1 D.－1
答案　ABD
解析　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A
，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.
4.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A.1 B.6 C. D.
答案　C
解析　因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
因为＝－2，所以＝，
＝＋＝－＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
5.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为________.
答案　
解析　由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，
因此与反向的单位向量为－＝.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.
答案　2
解析　易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
　考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a－b
C.－a－b D.－a＋b
答案　C
解析　＝＋
＝＋
＝(－)－
＝－－＝－a－b.
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________.
答案　
解析　如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)
＝＋(1－x)，
又∵＝＋，＝t，
∴解得t＝.
感悟提升　(1)应用平面向