2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 §4.3 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docx

§4.3　简单的三角恒等变换
考试要求　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？
提示　(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
(4)sin α＋cos α＝2sin.(　×　)
题组二　教材改编
2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.
3．cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝ .
答案　
解析　cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝sin(17°＋13°)＝sin 30°＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三　易错自纠
5．计算：＝ .
答案　
解析　＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝.
6．(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
答案　ABC
解析　∵sin＝sin cos ＋cos sin
＝sin cos ＋cos ，∴A正确；
∵cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，∴B正确；
∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确；
∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin 
＝2sincos 
＝sin＝1.
所以sin＝.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角