2022届高考数学一轮复习（人教版）第4章 高考专题突破二　高考中的解三角形问题.docx

高考专题突破二　高考中的解三角形问题
题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (10分)(2020·新高考全国Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
规范解答
解　方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.[2分]
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，[6分]
由此可得b＝c.[7分]
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.[9分]
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.[10分]
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.[2分]
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，[6分]
由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.[7分]
由②csin A＝3，得c＝b＝2，a＝6.[9分]
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.[10分]
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.[2分]
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，[6分]
由此可得b＝c.[7分]
由于③c＝b，与b＝c矛盾．[9分]
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．[10分]
第一步：根据C＝及余弦定理得出a，b，c的关系；
第二步：根据条件sin A＝sin B得出a，b的关系，从而得出b，c的关系；
第三步：结合自然条件即可求出各边长；
第四步：下结论，判断三角形解的情况．
[高考改编题] 在①cos 2B－sin B＋2＝0；②2bcos C＝2a－c；③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且a，b，c成等差数列，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　选条件①.
因为cos 2B＝1－2sin2B，
所以2sin2B＋sin B－3＝0，
即(2sin B－)(sin B＋)＝0，
解得sin B＝－(舍去)或sin B＝.
因为0<B<π，所以B＝或.
又因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，所以b不是三角形中最大的边，
即B＝.
由b2＝a2＋c2－2accos B，
得a2＋c2－2ac＝0，
即a＝c，从而a＝b＝c，
故△ABC是等边三角形．
选条件②.
由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A－sin C，
故2sin Bcos C＝2sin(B＋C)－sin C，
整理得2cos Bsin C－sin C＝0.
因为0<C<π，所以sin C>0，即cos B＝.
因为0<B<π，所以B＝.
又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
可得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c.
故△ABC是等边三角形．
选条件③.
由正弦定理得＝.
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝1，
即sin＝.
因为0<B<π，所以－<B－<，
即B－＝，可得B＝.
又因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
可得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c.
故△ABC是等边三角形．
跟踪训练1 (2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
解　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为0°<A<180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝.
题型二 平面几何中的解三角形问题
例2 (八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
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