2022届高考数学一轮复习（人教版）第5章 §5.3　平面向量的数量积.docx

§5.3　平面向量的数量积
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
微思考
1．两个向量的数量积大于0(或小于0)，则夹角一定为锐角(或钝角)吗？
提示　不一定．当夹角为0°(或180°)时，数量积也大于0(或小于0)．
2．平面向量数量积运算常用结论有哪些？
提示　(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
a与b同向时，a·b＝|a||b|.
a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(2)向量在另一个向量上的投影为数量，而不是向量．(　√　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　×　)
题组二　教材改编
2．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　cos θ＝＝＝－，
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)等于(　　)
A．2 B．－1 C．－6 D．－18
答案　D
解析　由题意知cos〈a，b〉＝sin ＝sin
＝－sin ＝－，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－3，
所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案　－2
解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三　易错自纠
5．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为________．
答案　－
解析　在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
所以·＝||||cos(π－A)＝－||||·cos A＝－3×2×＝－.
题型一 平面向量数量积的简单应用
命题点1　平面向量的模
例1 (2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案　
解析　将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝＝
＝＝.
命题点2　平面向量的夹角
例2 (2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析